带通滤波器：为什么收音机能从一万个电台里选出一个？

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图 A：双频点带通滤波器的幅频特性（教材原图）：.fL 是下沿窗口、.fH 是上沿窗口，窗顶是峰值增益 .Am，峰顶往下 3 dB 两条虚线标出"半扇窗"的宽度。物理：宽门形状像一段高原：两端平脊，两侧下坡。这就是"双频点"的名字来源：只关心 .fL 和 .fH 两个沿。数值：窗顶即 .Am，峰下 3 dB 两条虚线之间就是"半扇窗"宽度。工程：带宽≈.fH−.fL 直接可读，设计宽门都不需要引入 Q 概念。

好处是：两扇门可以完全独立设计：高通选什么 Q、低通选什么 Q，各干各的（前提：每扇门都由运放隔离后再级联，无源网络直接相接会互相加载、参数串味），串起来总增益就是两个增益的乘积（图 B，教材原图；dB 刻度下就是相加）。

图 B：高通与低通的级联框图（教材原图）：第一扇门（高通）标着 .fL、.Am1、.Q1，第二扇门（低通）标着 .fH、.Am2、.Q2。先切哪一端有讲究：高通在前对压低总输出噪声有效，低通在前对压低输出失调电压有效（教材的原话）。数值：总增益=.Am1×.Am2（dB 相加），两个门的选频形状也相乘。工程：次序即需求，先压噪声就高通在前，先压失调就低通在前。

这就是宽带通的全部：两扇各自熟悉的门，拼成一个窗。而教材 Section97 在自己收尾时留了一句话："当 fL 和 fH 相距很近时，就演变成了下节介绍的单频点选频放大器。"接下来就是这扇"窄门"。

2. 选台为什么是窄门：Q 值，门的身份证

中波广播里，各台的载波频率从 535 kHz 排到 1605 kHz，每台只占 9 kHz 的格子。要选中 900 kHz 那个台，把 900 kHz 下面的、上面的全部关掉，只留两侧各 4.5 kHz 一小条。上沿和下沿贴得这么近，一阶高通加一阶低通拼不来：下面窗沿还没关牢，上沿已经开始拉低了。

这时候得换一种结构：选频放大器，教材叫它"单频点选频放大器"，也就是窄带通。它只有一个"中间点" f₀，门的窄度用一个参数全部说清楚：

这个 Q 就叫品质因数。它读起来非常直白：Q = 中心频率 ÷ 门的宽度。Q 越大，门相对中心频率就越窄。中波台的格子（就近取整）：f0=1000 kHz、Δf=9 kHz → Q≈111——这就是"从一百多个台里只放一扇 9 kHz 窗"所需要的窄度。

窄带通的标准传输函数长这样，二阶归一化标准式：第 3 节会用到实物，这节先读形状。看不惯复数可以直接跳到式子下面，这一节用不上它。

读法只有一句话：Ω=1（这就是 f0 处）时，分子比分母：上下的 (1/Q)·jΩ 一约，峰值增益一分不差就是 Am，和 Q 无关。频率往两边挪一点，分母里的 (jΩ)² 就起来了，增益往下掉。其实，Q 在这条式子里干的是另一件事：决定掉得快慢。Q 大，掉得快，窗窄。式子里的 Ω 就是 f/f₀，只管形状、不掺绝对频率。

类比 A：选台 = 在百人合唱里只留一个音准最好的领唱。其他 99 个不是不存在，是被"关掉了"。

类比 B：Q 值 = 门的"窄度分"。一扇门有两个尺寸：门框宽度（Δf）和门开在哪（中心频率）。窄度的评比只看门框，Δf 越小 Q 越大；门开在哪与窄度无关。

类比边界：到此为止。Q 不只描述"窄度"，它在时域还控制着铃声长短（阶跃响应的衰减快慢），那是另一个话题，本篇不展开。

3. 配方：亲手做一个 10 kHz 选频放大器

理论够多了，来搭一个。结构选教材的 SK 型（Sallen-Key 型，下文简称 SK）窄带通电路二的易用型电路（图 C，教材原图）：六个元件：两只同值 R、两只同值 C、一只 2R、一个增益 G。这款电路临界值是 4.5，下文就叫它"4.5 那家"；SK 电路一的易用型临界值是 3，叫"3 那家"。

图 C：SK 型窄带通滤波器二（易用型电路，教材图 Section98-7 原图）：元件约束是 C₁=C₂=C、R₁=R₂=R、R₃=2R，加一组 G 乘法器（由一对电阻实现 G=1+R_F/R_G）。元件不多，全部标在图上，照着搭就行。数值：共 7 只元件（两只同值 R、两只同值 C、一只 2R、R_F/R_G 一对）。工程：同值元件成套选、误差自动相消，比凑非标值好搭。

三个约束，逐步算：

第一步，定 C，算 R。C 选常见值（1 μF 或 10 nF），中心频率只由 R、C 决定：

我要 f₀ = 10 kHz，取 C = 10 nF，R = 1/(2π×10⁴×10⁻⁸) = 1591.5 Ω。工程上取 E96 标准系列（精密电阻标准系列，每十倍频程 96 个值）圆整 1.58 kΩ，中心频率跟着走到 10.07 kHz、偏 0.7%，可接受。

第二步，由 Q 定 G。易用型二有一个干净程度惊人的结论：

Q 只由一个变量 G 控制：G 就是运放的闭环增益（下一步用两只电阻把它摆出来）。说白了，我想要 Q = 5：4.5 − G = 0.2 → G = 4.3。此时峰值增益 Am = 4.3/0.2 = 21.5 倍（26.6 dB）。

第三步，用两只电阻摆出 G。G = 1 + R_F/R_G（R_F 是接在输出的反馈电阻、R_G 是接地电阻）：R_G=1 kΩ，R_F=(4.3−1)×1 kΩ=3.3 kΩ。至此，电路齐了：C=10 nF、R=1.58 kΩ、2R=3.16 kΩ、R_F=3.3 kΩ、R_G=1 kΩ。

🎛 参数旋钮：同一套元件，只动 G，Q 与增益一起变Q = 1 → G = 3.5 → 峰值增益 3.5 倍（10.9 dB）→ 窗宽 10 kHz（Δf=f0/Q）Q = 5 → G = 4.3 → 峰值增益 21.5 倍（26.6 dB）→ 窗宽 2 kHzQ = 10 → G = 4.4 → 峰值增益 44 倍（32.9 dB）→ 窗宽 1 kHzQ → ∞ ← G → 4.5−：峰值增益一起冲向无穷——这是自激，不是增益很大

注意看这张旋钮表右边两列：Q 和 Am 是同一个分母 4.5 − G 的两条线：Q=1/x，Am=G/x。两式一除，一句话就出来了：Am = G × Q。门窄一倍，峰值增益就涨一倍，是乘法关系，不是巧合。想要"窄门"就自动收到"大增益"，想要"宽门且低峰"反而要费劲。

教材原文写着"中频增益和 Q 值，均与 4.5−G 有关，且如果 G 近似为 4.5 但小于 4.5，那么有可能出现 Q 和 A_m 都特别大的情况"。

4. 搭进仿真里：Q 扫描，一条曲线看捆绑

为了看清楚这条"捆绑"，我把同一个电路在 LTspice 里摆三遍：R、C、2R 全同，只有 G 变成 3.5、4.3、4.4（由 Q=1/(4.5−G) 算得，对应 Q=1、5、10）。

图 D：本文数据（LTspice AC 仿真，读图三件套）：数值：三条曲线的峰值 10.9/26.6/32.9 dB，中心频率都在 10.0 kHz；-3 dB 宽度恰好 10/2/1 kHz，也就是 Q=1/5/10。物理：Q 与峰值增益共用同一个分母（4.5−G）：分母缩小时窗变窄、峰变高是同一个动作的两个表现，结构使然，不是"能量守恒换尖锐"的戏法。工程：只换一只 R_F 就同时改了窄度和增益：你在调 Q 的时候永远不是只调 Q，这个"双调节"是这种电路的属性，不是错误。

参数组	G	设计峰值增益	设计窗宽	仿真峰值	仿真窗宽
Q=1	3.5	3.5 倍（10.9 dB）	10 kHz	3.50 倍（10.88 dB）	10.0 kHz
Q=5	4.3	21.5 倍（26.6 dB）	2 kHz	21.5 倍（26.65 dB）	2.00 kHz
Q=10	4.4	44 倍（32.9 dB）	1 kHz	44.0 倍（32.87 dB）	1.00 kHz

上表是理想元件值仿真（G 按设计值精确取 3.5/4.3/4.4），演示的是捆绑结构本身；真拿 E96 电阻做，圆整会推移结果（详解见第 6 节坑三）：R_F 落 2.49 k（G=3.49 → Q=0.99、峰 10.8 dB）、3.32 k（G=4.32 → Q=5.6、峰 27.6 dB）、3.40 k（G=4.40 → Q=10、峰 32.9 dB）。第三组的 Q 和峰值增益纹丝不动（但中心频率仍因 R 圆整走到 10.07 kHz），是 3.40 k 恰好在 E96 系列里，不是设计幸运。

5. 同样的 Q=10，两个不同的增益：教材里的一对例子

有人可能会问：那就用易用型二把 Q 和增益都拿满了啊，为什么教材还要摆出"3 那家"？因为每个电路有自己的"悬崖位置"。《新概念模拟电路》在这节给了两个成品例，都设计成 Q=10。拿来对比一下（两块数据都是书里 TINA 仿真的读数，出处见文末参考资料）：

例1（"3 那家"，图 Section98-4 电路，R=3.16 kΩ、2R=6.34 kΩ、C=1 μF 设计 f₀=50 Hz、Q=10，教材 TINA 仿真读数）：中心 50.29 Hz，峰值 30.5 dB，-3 dB 频点 52.52/48.15 Hz，算得 Qmeas=50.29/(52.52−48.15)=11.5。而它的公式是：

图 E：例1 的电路（教材图 Section98-4 原图）：R₁=R₂=3.16 kΩ、R₃=6.34 kΩ（2R）、C₁=C₂=1 μF、R₄=1.91 kΩ（R_F）、Rg=1 kΩ（R_G）→ G=1+R_F/R_G=1+1.91/1=2.91、Q 设计 10。注意这和后面的例2 差两笔：无源网络是一笔：例1 的 C₁ 直接挂在 R₁/R₂ 节点（"3 那家"），例2 的 C₁ 拐到了运放同相端、和 R₃=2R 并肩（"4.5 那家"），物理：就这一小笔位移，悬崖位置从 3 移到 4.5；R₄/Rg 是第二笔，把 G 从 2.91 换成 4.4。数值：落地 G=2.91 → Q=1/(3−2.91)=11.1、.A.m=32.3 倍（30.19 dB）。工程：悬崖在 3，G 占 97%，余量只有 0.09，R_F 不老实就过线（坑一）。

设计时 Q=10 → G=2.9 → Am=2.9/0.1=29 倍（29.2 dB）；按 E96 圆整后 G=2.91，理论增益 2.91/(3−2.91)=32.33 倍=30.19 dB，与书里读到的 30.5 dB 对上了。它的临界值是 G=3，G 一边顶崖一边拿增益。

这里有个我一开始没当回事的细节。G 从 2.9 圆整到 2.91，不过是 E96 里就近抓了个值，分母 3−G 就从 0.1 掉到 0.09，Q 被从 10 推到了 11.1。书上读到 11.5，只差 3.5%，剩下的零头归运放模型。也就是说，圆整这只手一抖，比你精挑细选的那点运放裕度影响还大。

例2（"4.5 那家"，图 Section98-8 电路，R=3.16 kΩ、2R=6.34 kΩ、C=1 μF、G=4.4，OPA1611）：设计 Q=10 → 理论增益 4.4/0.1=44 倍=32.87 dB，教材 TINA 仿真读数：中心 50.29 Hz、峰值 33.0 dB、-3 dB 频点 52.83/47.87 Hz，算得 Q=50.29/4.96=10.14，完全落在设计值上。临界值是 G=4.5。

图 F：例1 的电路仿真频率特性（教材图 Section98-5 原图）：物理：一个 50 Hz 附近的窄峰，峰值贴着 30 dB 标尺（书里这个电路的仿真读数 30.5 dB），两侧以窄带通的斜率滑下去；它的峰值比 例2 的（33.0 dB）矮了约 2.5 dB；按两边的理论峰值 30.19/32.87 dB 算，差 2.68 dB。"同 Q 不同增益"，一图坐实。数值：峰 30.5 dB、中心 50.29 Hz（设计 50 Hz，圆整 +0.58%）。工程：这么窄的峰只有仿真或扫频仪器读得出来，比"看表读格"可靠一个量级。
图 G：例2 的电路（教材图 Section98-8 原图）：R1=R2=3.16 kΩ、R₃=2R=6.34 kΩ、C1=C2=1 μF、R₄=3.4 kΩ（R_F）、Rg=1 kΩ（R_G）→ G=1+R_F/R_G=1+3.4/1=4.4、Q=10。运放清单里用的是 OPA1611。与图 F 那根 30.5 dB 的峰相比：书里这个电路仿真峰值 33.0 dB、Q 更接近设计值 10（10.14 vs 11.5）。数值：G=4.4 → .A.m=44 倍（32.87 dB）、读 Q=10.14。工程：同 Q 下"4.5 那家"比"3 那家"多约 2.7 dB；两家贴悬崖的程度其实一样（都占 97% 以上），只是墙的位置不同。★ 核心结论：Q 相同不等于峰值增益相同

两个例子都完成了"Q=10"的要求：例1 用"3 那家"（临界 3，G=2.91），峰值 30.19 dB；例2 用"4.5 那家"（临界 4.5，G=4.4），峰值 32.87 dB。差 2.68 dB。

为什么？在任一电路里，Q 与 Am 都共用同一个分母；例1（"3 那家"）：Q=1/(3−G)、Am=G/(3−G)；例2（"4.5 那家"）：Q=1/(4.5−G)、Am=G/(4.5−G)。分母定得越小（=G 越贴悬崖），Q 和 Am 同步飞得越高；两个电路的悬崖在 3 和 4.5，所以同样 Q=10，送出的增益不一样。

所以选型时的说法是：先定 Q，再看你这个电路同时送你的增益好不好。教材的结论原话："两个电路都能实现 Q=10 的要求，但是峰值增益存在差异……在实际应用中，这点差异不会带来太大的影响。"

几个带通结构摆一桌，横着看一遍各自的 Q 天花板和"送的增益"：

结构	Q 公式	临界 G	峰值增益	一句话点评
SK"3 那家"	1/(3−G)	3	G/(3−G)	C₁ 挂 R₁/R₂ 节点；元数少、好算，Q=10 时比"4.5 那家"矮 2.68 dB
SK"4.5 那家"	1/(4.5−G)	4.5	G/(4.5−G)	C₁ 拐到同相端（与 2R 并肩）；同 Q 增益更高，本书例2 采用
文氏电路	1/3	—	1/3	桥承名门，当带通只有 Q=1/3。彩蛋

图 H：文氏带通电路（教材图 Section98-18 原图）：两个同值 R、两个同值 C 组成的桥式选频，就是这么有名的"文氏"。它作为带通也只达到 Q=1/3、峰值增益 1/3。彩蛋：想出名的桥当不了选台的门。数值：Q=1/3、峰值增益 1/3，比任何 SK 窄带通都宽得多。工程：它更适合当文氏桥振荡器的骨架，选台这活儿别用它。6. 悬崖边上的那几个坑

坑一：千万别把 G 顶在悬崖上。G 逼近临界值（"3 那家"是 3、"4.5 那家"是 4.5），Q 和 Am 一起冲向无穷。那个无穷不是大增益，是自激尖啸。Q=10 时 4.5−G=0.1，也就是说这个电路里 G 是 4.4，占崖壁（4.5）97.8% 的位置。此时 R_F 误差只要 ±1%（R_F ±1% → G 动 ±0.034，4.5−G 从 0.1 变成 0.066～0.134），Q 就从 10 被震成 7.5～15.2；Q 上到 50（4.5−G=0.02）时，±1% 甚至可能把分母震成负数，越过自激线。

正因如此：用到 Q≥10 就要对 G 相关的那两只电阻上心（0.1% 或挑温漂小的），也不要抱着"Q 越大越神"去设计，Q>10 就别再单级硬扛，建议换增益与 Q 解耦的结构（如双运放 DABP 或状态变量结构，见教材 Section98 后半）。

坑二：运放不是理想的，带宽在扣公式。SK 电路里那个 G 是要靠环路的；G 取到 4.4 意味着环路增益在 f0 处必须明显大于 G，否则中心频率会漂、Q 会塌。手动选运放的经验值，注意这不是教材公式：GBW ≥ 10 × f₀ × Q——GBW 是"增益带宽积"的缩写，运放在这类窄带通里的门票。我这篇 10 kHz、Q=5，GBW ≥ 500 kHz 就够，随便一只超过 3 MHz 的运放都行。

顺带把账算清楚：教材两例的中心为什么是 50.29 Hz 而不是设计值 50 Hz？大头是电阻圆整：R 从设计值 3183 Ω 落到 E96 标准的 3160 Ω，中心直接就抬到 50.37 Hz（+0.73%）；最终仿出来是 50.29 Hz（+0.58%），剩下的那 0.15% 才是 TINA 模型里的运放留下的。别把这笔账记到运放头上：Q=10 时主导因子是圆整，GBW 的效应要到 Q≥20 才排队唱主角。

坑三：圆整误差要算得出来。我设计的例子里，R 从 1591.5 Ω 圆整到 1.58 kΩ，中心频率 +0.7%，Q 因结构不变；R_F=3.3 kΩ 圆整到 E96 的 3.32 kΩ（对应 G=4.32、Q=5.6）。如果是一块精度要求高的板子，这种圆整影响就该用仿真钉一次，别只在纸上对。

✗ 常见误区：以为"Q 越大声音越清晰"

错误认知：调台就是调 Q，Q 拉得越大越好，一个台干干净净。

正确理解：一个台的信号占 9 kHz 的频道格子（调幅单侧音频带宽约 4.5 kHz，上下边带合计 9 kHz，这正是频道间隔的由来）。台不是无限窄。你把 Q 拉过头的代价是：门比台还窄，把台的边带一起削掉，声音发闷甚至丢音。所以"中波台的标准窄度"就是 Q≈111，刚好包住频道格，不是越窄越好。

Q 的合理取值是"以刚好包住台为准"：中心频率与信号带宽都能估计时，Q ≈ f0 ÷ 信号带宽（"信号带宽"指含两侧边带的整套宽度，中波就是一档 9 kHz；拿单侧 4.5 kHz 代入会算出 222，和标的 111 对不上），再留一点边带余量。

7. 那收音机的 Q=111 到底是谁干的？

等等，坑一说"Q>10 就别再单级硬扛"，那开篇那根 Q=111 的锚呢？按易用型二硬算一遍就知道不对劲：Q=111 → G=4.491，GBW ≥ 10×f0×Q = 10×1000 kHz×111 ≈ 1.1 GHz，普通运放在这条线上差着几百倍。

真实收音机没让它扛这个 Q。它不是"一种可调的超高 Q 带通"，而是超外差：前面一级粗调谐（可调 LC 回路，受线圈和可变电容的 Q 限制，只能先粗选到两三格宽，且必须跟着旋钮跑），混频器再把选中台搬到固定中频，国内惯例 465 kHz，真正的窄门交给固定频率的中周/陶瓷滤波器：465 kHz、带宽约 6 kHz，Q≈78。选频是分工接力，难搞的"高 Q+可调"，被拆成"可调（粗）"和"高 Q（固定）"两拨人，各干各的。

注意这里 Q 只有 78、比开篇的 111 还小，却更好用，因为选择性看的是绝对带宽：6 kHz 的门比 9 kHz 的频道格还窄，而且中心频率固定，能一级一级往上叠、还能换成矩形系数更好的陶瓷滤波器。Q 是相对量，跨频率比 Q 没有意义。

回到落地：单级 SK 的舒适区在 Q≈5 以内，10 已是需要上 0.1% 电阻的边界。高 Q 的活儿，让中频固定结构、或多级/双运放解耦结构去干，别拿一只 G 硬顶，悬崖不会原谅。

8. 一句话带走

宽带通是两个熟悉的门拼窗；窄带通是窗沿挤到一起后的一种"点窗"结构，用它选台。Q 就是点窗的窄度，它和峰值增益共用同一个分母——离临界 4.5−G 越近，两样越飞，离得远则又平又宽。这个电路不会"顺手多送你增益"：它只会要求你把 Q 和增益一起收下。选型时，先定 Q，再量一下那个"送的增益"符不符合你的信号幅度约束，然后，把 G 从 4.5 悬崖往下拖出一个安全距离。

本篇小结

带通 = 高通 + 低通串联：下沿 fL、上沿 fH，总增益 = 两个增益相乘（dB 相加）。宽门是"两个门"拼窗，窄门是"选频放大器"。
Q = f0/Δf 是窄门的身份证：中心频率 ÷ 门宽；中波台 Q≈111。
SK"4.5 那家"配方：R=1/(2πf0C)，Q=1/(4.5−G)，Am=G/(4.5−G)，G=1+R_F/R_G；Q 与 Am 共用同一分母。
坑：G 顶着临界值（3 或 4.5）就自激；运放 GBW 按 ≥10×f0×Q 选；E96 圆整影响要仿真钉一次。
收音机的 Q=111 不是单级带通硬做的：超外差把"可调"和"高 Q"拆开，中频 465 kHz 固定门只需 Q≈78（第 7 节）。
同一电路内 Am=G×Q，换电路则临界值变（3 或 4.5），同 Q 不同增益。

本篇相关阅读：《运放深潜修炼笔记 · 第04篇：为什么 100 倍放大只有 10kHz 带宽？增益带宽积：借来的带宽迟早要还》，本篇选型经验值就来自这里 · 《运放深潜修炼笔记 · 第05篇：噪声带宽 ≠ −3 dB 带宽：算得 129 nV，实算 161 nV》。带通滤波器的噪声带宽 = (π/2)·f0/Q = 1.57×(f0/Q)，Q 越大连噪声的门也收窄，例 Q=5 时只有 3.14 kHz；两篇的"门"用的是同一把尺 参考资料

• 《新概念模拟电路·运放电路的频率特性和滤波器》（杨建国）：Section97「双频点带通滤波器——宽带通」· 图 97-1/97-2/97-3；Section98「单频点选频放大器——窄带通」· 图 98-1 通用模式 · 图 98-3/98-7 易用型一/二电路 · 图 98-4/98-5 举例1电路及其仿真特性 · 图 98-8 举例2电路 · 图 98-9 MFB 通用结构 · 图 98-18 文氏带通；式 (Section98-4)（易用型一 Q=1/(3−G)）/(Section98-5)/(Section98-6)/(Section98-7)（易用型二，Q=1/(4.5−G)、.A.m=G/(4.5−G)）。上述内容均在书页 139-146 区间（书页 141 为 SK 通用式推导、书页 142 为易用型二结论与公式、书页 143 为例 2 工程实现与例 1/例 2 对比）。例1、例2 仿真读数（30.5 dB/Q=11.5；33.0 dB/Q=10.14；f0=50.29 Hz）见书页 143。
• 中波广播频率分配：535–1605 kHz，频道间隔 9 kHz（广播频谱划分常识）（正文引用"每台 9 kHz 一格"，不展开）。
• 本文仿真数据：LTspice AC 仿真（R=1.58 kΩ、C=10 nF、G=3.5/4.3/4.4 三组，运放理想化模型），与教材 TINA 仿真口径同源（峰值增益 vs 中心频率 vs -3 dB 宽度）。